Question

6．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引起一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．
（1）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且AD=CD，則∠ACB=96°．
（2）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=$\sqrt{2}$，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據相似三角形的性質得到∠BCD=∠A=48°，再根據角的和差關系求出∠ACB即可．
（2）設BD=x，利用△BCD∽△BAC，得$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）當AD=CD時，如圖3，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
（2）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，設BD=x，
∴（$\sqrt{2}$）²=x（x+2），
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{3}$-1，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$×2=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
故答案為：96．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，屬于中考常考題型．