Question

【題目】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動，到達點C停止運動．設運動時間為t秒

（1）如圖1，過點P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC與△PAD的面積和是△ABC的面積的，求t的值；

（2）點Q在射線PC上，且PQ＝2AP，以線段PQ為邊向上作正方形PQNM．在運動過程中，若設正方形PQNM與△ABC重疊部分的面積為8，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t的值為或2時，重疊面積為8．

【解析】

（1）先求出△ABC的面積，然后根據(jù)題意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC與△PAD的面積和是△ABC的面積的，列出方程、解方程即可解答；

（2）根據(jù)不同時間段分三種情況進行解答即可.

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，

∴S△ABC＝×6×6＝18，

∵AP＝t，CP＝6﹣t，

∴△PBC與△PAD的面積和＝t2+×6×（6﹣t），

∵△PBC與△PAD的面積和是△ABC的面積的，

∴t2+×6×（6﹣t）＝18×，

解之，得t1＝2，t2＝4；

（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，

∴PQ＝2t，

①如圖1，當0≤t≤2時，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8，

解得：t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），

②如圖2，當2≤t≤3時，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝12t﹣t2＝8，

解得：t1＝4（不合題意，舍去），t2＝（不合題意，舍去），

③如圖3，當3≤t≤6時，S＝ 6×6﹣t2＝8，

解得：t1＝2，t 2＝﹣2（不合題意，舍去），

綜上，t的值為或2時，重疊面積為8．