Question

【題目】如圖，在中，，，為外一點，將繞點按順時針方向旋轉得到，且點、、三點在同一直線上.

（1）（觀察猜想）

在圖①中， ；在圖②中， （用含的代數式表示）

（2）（類比探究）

如圖③，若，請補全圖形，再過點作于點，探究線段，，之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）（問題解決）

若，，，求點到的距離.

Answer 1

【答案】（1）；；（2），證明見解析；（3）點到的距離為或.

【解析】

（1）在圖①中由旋轉可知，由三角形內角和可知∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，因為，∠OAP+∠PAB=∠OAB，所以∠APB=∠AOB=α；在圖②中，由旋轉可知，得到∠OBP+OAP=180°，通過四邊形OAPB的內角和為360°，可以得到∠AOB+∠APB=180°，因此∠APB=；

（2）由旋轉可知≌，，，，因為，得到，即可得證；

（3）當點在上方時，過點作于點，由條件可求得PA，再由可求出OH；當點在下方時,過點作于點，同理可求出OH.

（1）①由三角形內角和為180°得到∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，

由旋轉可知，

又∵∠OAP+∠PAB=∠OAB，

∴∠OBP+∠PAB+∠ABO+∠AOB=180°，即∠PAB+∠ABP+∠AOB=180°，

∴∠APB=∠AOB=α；

②由旋轉可知，

∵=180°，

∴∠OBP+OAP=180°，

又∵∠OBP+OAP+∠AOB+∠APB=360°，

∴∠AOB+∠APB=180°，

∴∠APB=；

（2）

證明：由繞點按順時針方向旋轉得到

∴≌，，，，

又∵，

∴

∴

（3）【解法1】

（i）如圖，當點在上方時，過點作于點

由（1）知，，

∵

∴

由(2)知,

∴

(ii)如圖,當點在下方時,過點作于點

由(1)知, ,

∵

∴

∴

∴點到的距離為或.

【解法2】

（i）如圖，當點在上方時 ，過點作于點，

∵，，

∴，

∵，取的中點

∴

∴點，，，四點在圓上

∴，且

∴

∴

∵，，

∴

在中，，設，則

∴，化簡得：

∴，（不合題意，舍去）

∴

（ii）若點在的下方，過點作，

同理可得：

∴點到的距離為或.