Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線：y=－2x＋b (b≥0)的位置隨b的不同取值而變化．

    (1)已知⊙M的圓心坐標為(4，2)，半徑為2．

    當b=　　　　時，直線：y=－2x＋b (b≥0)經過圓心M：

    當b=　　　　時，直線：y=－2x＋b(b≥0)與OM相切：

    (2)若把⊙M換成矩形ABCD，其三個頂點坐標分別為：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).

設直線掃過矩形ABCD的面積為S，當b由小到大變化時，請求出S與b的函數關系式，

 

Answer 1

【答案】

解：（1）10；。

（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根據矩形的性質，得D（2，2）。

如圖，當直線經過A(2，0)時，b=4；當直線經過D（2，2）時，b=6；當直線經過B（6，0）時，b=12；當直線經過C(6，2)時，b=14。

當0≤b≤4時，直線掃過矩形ABCD的面積S為0。

當4＜b≤6時，直線掃過矩形ABCD的面積S為△EFA的面積（如圖1），

在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，則E（2，－4＋b），

令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，則F（，0）。

∴AF=，AE=－4＋b。

∴S=。

當6＜b≤12時，直線掃過矩形ABCD的面積S為直角梯形DHGA的面積（如圖2），

在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，則G（，0），

令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，則H（，2）。

∴DH=，AG=。AD=2

∴S=。

當12＜b≤14時，直線掃過矩形ABCD的面積S為五邊形DMNBA的面積=矩形ABCD的面積－△CMN的面積（如圖3）

在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，則M（，0），

令x=6，得y=－12＋b，，則N（6，－12＋b）。

∴MC=，NC=14－b。

∴S=。

當b＞14時，直線掃過矩形ABCD的面積S為矩形ABCD的面積，面積為民8。

綜上所述。S與b的函數關系式為：

。

【解析】直線平移的性質，相似三角形的判定和性質，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，直線與圓相切的性質，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性質。

【分析】（1）①∵直線y=－2x＋b (b≥0)經過圓心M(4，2)，

              ∴2=－2×4＋b，解得b=10。

②如圖，作點M垂直于直線y=－2x＋b于點P，過點

P作PH∥x軸，過點M作MH⊥PH，二者交于點H。設直線y=－2x＋b與x，y軸分別交于點A，B。

           則由△OAB∽△HMP，得。

           ∴可設直線MP的解析式為。

           由M(4，2)，得，解得。∴直線MP的解析式為。

           聯立y=－2x＋b和，解得。

           ∴P（）。

           由PM=2，勾股定理得，，化簡得。

           解得。

（2）求出直線經過點A、B、C、D四點時b的值，從而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五種情況分別討論即可。