Question

【題目】如圖，是邊長為2的等邊三角形，點與點分別位于直線的兩側，且，連接，交直線于點．

（1）當時，求線段的長；

（2）過點作，垂足為點，直線交于點，

①當時，設（其中表示的面積，表示的面積），求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；

②當時，請直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）線段的長是；（2）①；②AE=1或．

【解析】

（1）過點作，垂足為點，設，則，根據BG=EG構建方程求出x即可得出答案；

（2）①證明△AEF∽△BEC，可得，由此構建關系式即可解決問題．

②分兩種情形：當∠CAD＜120°時，當120°＜∠CAD＜180°時，分別得出方程求解即可解決問題．

解：（1）∵是等邊三角形，且，

∴，，

過點作，垂足為點，

設，則，

在中，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

解得：，

∴線段的長是；

（2）①當∠CAD＜120°時，

設∠ABD=，則∠BDA=,∠DAC=∠BAD-∠BAC=120°-2，

∵AD=AC，AH⊥CD，

∴∠CAF=∠DAC=60°-，

∵∠AEF=60°+，

∴∠AFE=60°，

∴∠AFE=∠ACB，

∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF∽△BEC

∴，

由（1）得在中，，

∴，

∴，

②

，則有，

整理，得3x2+x-2=0

解得x=或-1（舍去）

∴AE=

當120°＜∠CAD＜180°時，

同理可得，

當時，則有，

整理，得3x2-x-2=0

解得x=-（舍去）或1，

∴AE=1

綜上所述，AE=1或．