Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分別從A、C同時出發，P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C向B運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也停止運動．試計算，
（1）當運動時間為多少時，直線PQ四邊形截出四邊形是一個平行四邊形？
（2）在直線PQ所截出的平行四邊形中，在PQ的對邊任取一點O，連接OP、OQ，得到△OPQ，則△OPQ的面積與直線PQ所截出的平行四邊形的面積有何關系？并說明理由．（在圖1、圖2中任取一種畫出圖形，說明理由即可．）

Answer 1

（1）設運動時間為t秒時，直線PQ四邊形截出四邊形是一個平行四邊形，
①當AP=BQ時，AP=t，BQ=6-2t，
∴t=6-2t，
解得t=2，
②當PD=CQ時，AP=9-t，CQ=2t，
∴9-t=2t，
解得t=3秒，
此時點Q與點B重合，符合題意，
∴當運動時間為2秒或3秒時，直線PQ四邊形截出四邊形是一個平行四邊形；

（2）△OPQ的面積平行四邊形的面積的一半．
理由如下：如圖1，過點O作OE∥AP，
則OE∥AP且OE=AP，
OE∥BQ且OE=BQ，
∴四邊形AOEP與四邊形OBQE都是平行四邊形，
∴S_△OPE=

1

2

S_{平行四邊形AOEP}，
S_△OQE=

1

2

S_{平行四邊形OBQE}，
∴S_△OPE+S_△OQE=

1

2

S_{平行四邊形AOEP}+

1

2

S_{平行四邊形OBQE}=

1

2

S_{平行四邊形ABQP}，
即S_△OPQ=

1

2

S_{平行四邊形ABQP}，
同理可證，圖2中S_△OPQ=

1

2

S_{平行四邊形PQCD}．