Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分別為AB、AD的中點，連接EF、EC、BF、CF．
（1）判斷四邊形AECD的形狀（不證明）；
（2）在不添加其它條件下，寫出圖中一對全等的三角形，用符號“≌”表示，并證明；
（3）若CD=2，求四邊形BCFE的面積．

Answer 1

（1）平行四邊形（2分）；

（2）△BEF≌△CDF（3分）或（△AFB≌△EBC≌△EFC）
證明：連接DE，
∵AB=2CD，E為AB中點，
∴DC=EB，
又∵DC∥EB，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∵AB⊥BC，
∴四邊形BCDE為矩形，
∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD，
在Rt△AED中，∠A=60°，F為AD的中點，
∴AF=

1

2

AD=EF，
∴△AEF為等邊三角形，
∴∠DFE=180°-60°=120°，
∵EF=DF，
∴∠FDE=∠FED=30°．
∴∠CDF=∠BEF=120°，
在△BEF和△FDC中，

DF=EF ∠CDF=∠BEF=120° DC=BE

，
∴△BEF≌△CDF（SAS）．（6分）（其他情況證明略）

（3）若CD=2，則AD=4，
∵∠A=60°，
∴sin60°=

DE

AD

=

3

2

，
∴DE=AD•

3

2

=2

3

∴DE=BC=2

3

，
∵四邊形AECD為平行四邊形，
∴S_△ECF與S_{四邊形AECD}等底同高，
∴S_△ECF=

1

2

S_{四邊形AECD}=

1

2

CD•DE=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
S_△CBE=

1

2

BE•BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_{四邊形BCFE}=S_△ECF+S_△EBC=2

3

+2

3

=4

3

．（9分）