Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（0，4）為圓心，半徑為4的圓交y軸正半軸于點A，AB是⊙C的切線．動點P從點A開始沿AB方向以每秒1個單位長度的速度運動，點Q從O點開始沿x軸正方向以每秒4個單位長度的速度運動，且動點P、Q從點A和點O同時出發，設運動時間為t（秒）．
（1）當t=1時，得到P₁、Q₁兩點，求經過A、P₁、Q₁三點的拋物線解析式及對稱軸l；
（2）當t為何值時，直線PQ與⊙C相切并寫出此時點P和點Q的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線對稱軸l上存在一點N，使NP+NQ最小，求出點N的坐標并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出t=1時，AP和OQ的長，即可求得P₁，Q₁的坐標，然后用待定系數法即可得出拋物線的解析式．進而可求出對稱軸l的解析式．
（2）當直線PQ與圓C相切時，連接CP，CQ則有Rt△CMP∽Rt△QMC（M為PG與圓的切點），因此可設當t=a秒時，PQ與圓相切，然后用a表示出AP，OQ的長即PM，QM的長（切線長定理）．由此可求出a的值．
（3）本題的關鍵是確定N的位置，先找出與P點關于直線l對稱的點P′的坐標，連接P′Q，那么P′Q與直線l的交點即為所求的N點，可先求出直線P′Q的解析式，進而可求出N點的坐標．

解答：解：（1）由題意得A、P₁、Q₁的坐標分別為A（0，8）、P₁（1，8）、Q₁（4，0）（1分）
設所求拋物線解析式為y=ax²+bx+c
則

8=c 8=a+b+c 0=16a+4b+c

∴a=-

2

3

，b=

2

3

，c=8
∴所求拋物線為y=-

2

3

x²+

2

3

x+8
對稱軸為直線l：x=

1

2

；

（2）設t=a時，PQ與⊙C相切于點M
連接CP、CM、CQ，則PA=PM=a，QO=QM=4a
又∵CP、CQ分別平分∠APQ和∠OQP，
而∠APQ+∠OQP=180°
∴∠PCQ=90°
∴PC⊥CQ
∴Rt△CMP∽Rt△QMC
∴

CM

PM

=

QM

CM

即

4

a

=

4a

4

∴a=±2
由于時間a只能取正數，
所以a=2
即當運動時間t=2時，PQ與⊙C相切
此時：P（2，8），Q（8，0）；

（3）∵A（0，8），P（2，8），Q（8，0），
∴拋物線解析式為：y=-

1

6

x²+

1

3

x+8，
此時對稱軸l：x=1，點P關于直線l的對稱點為P'（0，8），
則直線P'Q的解析式為：y=-x+8，
當x=1時，y=-1+8=7．
因此N點的坐標為（1，7）．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、切線的性質、切線長定理等知識點．