Question

6．觀察下列等式：
第1個等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）；
第2個等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；
第3個等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；
第4個等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）…
請解答下列問題：
（1）用含有n（n為正整數(shù)）的式子表示第n個等式；
（2）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值．

Answer 1

分析 （1）由已知等式知，連續(xù)奇數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)差的一半，據(jù)此可得；
（2）根據(jù)以上規(guī)律可得原式=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$），即可得出答案．

解答 解：（1）由已知等式知，連續(xù)奇數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)差的一半，
∴第n個等式為$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；

（2）原式=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{200}{201}$
=$\frac{100}{201}$．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意得出連續(xù)奇數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)差的一半且掌握裂項求和是解題的關(guān)鍵．