Question

【題目】定義：如果一個點能與另外兩個點構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．如矩形OBCD中，點C為O，B兩點的勾股點,已知OD＝4,在DC上取點E,DE=8．

（1）如果點E是O，B兩點的勾股點（點E不在點C）, 試求OB的長；

（2）如果OB=12，分別以OB,OD為坐標軸建立如圖2的直角坐標系，在x軸上取點F(5，0)．在線段DC上取點P, 過點P的直線l∥y軸，交x軸于點Q．設DP=t．

①當點P在DE之間，以EF為直徑的圓與直線l相切，試求t的值；

②當直線l上恰好有2點是E，F兩點的勾股點時，試求相應t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）①4；②0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12

【解析】

（1）連接OE、BE．設OB=x，則EC=x-8．先依據勾股定理表示出OE2、BE2的值，再依據勾股定理的逆定理列方程求解即可；
（2）①過點F作FG⊥DC，垂足為G，過點M作MN∥DE．在△EFG中依據勾股定理求得EF的長，從而可求得MH的長，由梯形的中位線定理可求得MN的長，然后依據NH=NM-MH可求得NH的長，從而求得t的值；
②當直線l與圓M相離或直線l經過點E或直線l經過點F時，直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．

解：（1）如圖1所示，連接OE、BE．

設OB=x，則EC=x-8．
在△DOE中，OE2=DE2+OD2=42+82=80，BE2=CE2+CB2=42+（x-8）2．
∵E為點O和點B的勾股定理點，
∴OB2=OE2+BE2，即42+（x-8）2+80=x2．
解得：x=10．
∴OB=10．
（2）①過點F作FG⊥DC，垂足為G，過點M作MN∥DE．

∵DE=8，OF=5，DO=4，
∴GE=3，FG=4，MN=6.5．
∴EF==5．
∴MH=2.5．
∴HN=NM-MH=6.5-2.5=4．
∴t=4．
②如圖3所示：當直線l與圓M相離時．過點E作EG⊥EF交PQ于點G，過點F作HF⊥EF，垂足為H．

∵∠GEF=90°，
∴△GEF為直角三角形．
∴G是E、F的一個勾股點．
同理點H也是E、F的一個勾股點．
∴當直線l與圓M相離時，直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．
∴當0＜t＜4時，直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．
同理：當直線l在圓M的右側，直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．
∴9＜t≤12．
如圖4所示：當直線l經過點F時，直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．

∵OF=5，
∴t=5．
如圖5所示：當直線l經過點E時，直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．

∵DE=8，
∴t=8．
綜上所述當0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12時，直線l上恰好存在兩個點是E、F兩點的勾股點．