Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙O于點D，BD的延長線交AC于E，連接AD，

（1）求證：CD2＝CEAC；

（2）若AB＝4，AC＝4，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）通過證明△CDE∽△CAD可得結(jié)論．

（2）利用相似三角形的性質(zhì)，勾股定理求出AC，CE即可解決問題．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠B+∠BAD＝90°，

∵AC為⊙O的切線，

∴BA⊥AC，

∴∠BAC＝90°，即∠BAD+∠CAD＝90°，

∴∠B＝∠CAD，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

而∠ODB＝∠CDE，

∴∠B＝∠CDE，

∴∠CAD＝∠CDE，

而∠ECD＝∠DCA，

∴△CDE∽△CAD；

∴，

∴CD2＝CEAC．

（2）解：在Rt△AOC中，∵AB＝4，

∴OA＝2，AC＝4，

∴O＝，

∴CD＝OC﹣OD＝6﹣2＝4，

∵CD2＝CEAC，

∴CE＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2＝2．