Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點P為邊AB所在直線上一點，連結CP，M為線段CP的中點，若滿足∠ACP=∠MBA，則稱點P為△ABC的“好點”.

（1）如圖2，當∠ABC=90°時，命題“線段AB上不存在“好點”為 （填“真”或“假”）命題，并說明理由；

（2）如圖3，P是△ABC的BA延長線的一個 “好點”，若PC=4，PB=5，求AP的值；

（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，點P是△ABC的“好點”，若AC=4，AB=5,求AP的值.

Answer 1

【答案】（1）真；（2）；（3）或或.

【解析】

（1）先根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知MP=MB，從而∠MPB=∠MBP，然后根據三角形外角的性質說明即可；

（2）先證明△PAC∽△PMB，然后根據相似三角形的性質求解即可；

（3）分三種情況求解：P為線段AB上的“好點”， P為線段AB延長線上的“好點”， P為線段BA延長線上的“好點”.

(1)真 .

理由如下：如圖，當∠ABC=90°時，M為PC中點，BM=PM，

則∠MPB=∠MBP>∠ACP，

所以在線段AB上不存在“好點”；

（2）∵P為BA延長線上一個“好點”；

∴∠ACP=∠MBP；

∴△PAC∽△PMB；

∴即；

∵M為PC中點，

∴MP=2；

∴；

∴.

(3)第一種情況，P為線段AB上的“好點”，則∠ACP=∠MBA，找AP中點D，連結MD；

∵M為CP中點；

∴MD為△CPA中位線；

∴MD=2，MD//CA；

∴∠DMP=∠ACP=∠MBA；

∴△DMP∽△DBM；

∴DM2=DP·DB即4= DP·（5DP）；

解得DP=1，DP=4（不在AB邊上，舍去；）

∴AP=2

第二種情況（1），P為線段AB延長線上的“好點”，則∠ACP=∠MBA，找AP中點D，此時，D在線段AB上，如圖，連結MD；

∵M為CP中點；

∴MD為△CPA中位線；

∴MD=2，MD//CA；

∴∠DMP=∠ACP=∠MBA；

∴△DMP∽△DBM

∴DM2=DP·DB即4= DP·（5DA）= DP·（5DP）；

解得DP=1（不在AB延長線上，舍去），DP=4

∴AP=8；

第二種情況（2），P為線段AB延長線上的“好點”，找AP中點D，此時，D在AB延長線上，如圖，連結MD；

此時，∠MBA>∠MDB>∠DMP=∠ACP,則這種情況不存在，舍去；

第三種情況，P為線段BA延長線上的“好點”，則∠ACP=∠MBA，

∴△PAC∽△PMB；

∴

∴BM垂直平分PC則BC=BP= ;

∴

∴綜上所述，或或；