Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，且AC是DE的中垂線．

（1）求證：∠BAD＝∠CAD；

（2）連接CE，寫出BD和CE的數量關系．并說明理由；

（3）當∠BAC＝90°，BC＝8時，在AD上找一點P，使得點P到點C與到點E的距離之和最小，并求出此時△BCP的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BD＝CE，理由詳見解析；（3）8

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質即可得到結論；

（2）根據AC垂直平分DE，可得CD＝CE，又BD=CD即可證明；

（3）連接BE交AD于點P，此時PE+PC的值最小．先求出AD的長，再證明△APE≌△DPB，得出PA=PD，求出PD即可得出△BCP的面積．

（1）證明：∵AB＝AC，AD是中線，

∴∠BAD＝∠CAD；

（2）解：BD＝CE．理由如下：

∵AD是中線，∴BD＝CD，

∵AC垂直平分DE，∴CD＝CE，

∴BD＝CE；

（3）解：連接BE，BE與AD的交點即為點P，

∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，

∴BP=CP，

∴PE+PC=PE+BP=BE，所以此時PE+PC的值最小．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=45°=∠DAC=∠BAD，

∴AD＝BD=CD＝4，

由AC垂直平分DE得，AE＝AD=BD，

∴∠ADE=90°-∠DAC=45°=∠AED，

∴∠DAE=90°，

∴∠PAE=∠BDP=90°，

又∠BPD=∠EPA，

∴△APE≌△DPB（AAS），

∴PA＝PD＝2，

∵PD⊥BC，

∴S△BCP＝×8×2＝8．