Question

【題目】如圖，在邊長為 2 的正方形 ABCD 中，點 P 、Q 分別是邊 AB 、 BC 上的兩個動點（與點 A 、B 、C 不重合）且始終保持 BP BQ, AQ QE ，QE 交正方形外角平分線CE 于點 E ， AE 交CD 于點 F ，連結 PQ 。

（1）求證： APQ ≌ QCE ；

（2）求QAE 的度數；

（3）設 BQ x ，當 x 為何值時， QF CE ，并求出此時AQF 的面積。

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)45°;(3) 2-2；4-4.

【解析】

（1）判斷出△PBQ是等腰直角三角形,然后求出∠APQ=∠QCE=135°,再根據同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE,再求出AP=CQ,然后利用“角邊角”證明即可;（2）根據全等三角形對應邊相等可得AQ=EQ,判斷出△AQE是等腰直角三角形,再根據等腰直角三角形的性質解答; （3）把△ABQ繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG,求出∠GAF=45°,從而得到∠GAF=∠QAF,再利用“邊角邊”證明△AQF和△AGF全等,根據全等三角形對應邊相等可得QF=GF,再根據兩直線平行,同位角相等求出∠CQF=45°,然求出CQ=CF,分別用x表示出CQ、CF、QF,利用勾股定理列式表示出QF,然后列出方程求出x,再求出△AGF的面積,即為△AQF的面積．

（1）證明：在正方形ABCD中,∠B=90°,AB=BC,∵BP=BQ,

∴△PBQ是等腰直角三角形,AP=CQ,

∴∠BPQ=45°,

∵CE為正方形外角的平分線,

∴∠APQ=∠QCE=135°,

∵AQ⊥QE,

∴∠CQE+∠AQB=90°,

又∵∠PAQ+∠AQB=90°,

∴∠PAQ=∠CQE,

在△APQ和△QCE中,

,

∴△APQ≌△QCE（ASA）;

（2）解：∵△APQ≌△QCE,

∴AQ=EQ,

∵AQ⊥QE,

∴△AQE是等腰直角三角形,

∴∠QAE=45°;

（3）解：如圖，把△ABQ繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG,

則AQ=AG,BQ=DG,∠BAQ==∠DAG,

∵∠QAE=45°,

∴∠GAF=45°,∠GAF=∠QAF,

在△AQF和△AGF中,

,

∴△AQF≌△AGF（SAS）,

∴QF=GF,

∵QF∥CE,

∴∠CQF=45°,

∴△CQF是等腰直角三角形,

∴CQ=CF,

∵BQ=x,

∴CQ=CF=2-x,

∴DF=2-（2-x）=x,

∴QF=GF=2x,

在Rt△CQF中,CQ2+CF2=QF2, 即（2-x）2+（2-x）2=（2x）2,

解得x=2-2,

∴△AGF的面積=×2（2-2）×2=4-4， 即△AQF的面積為4-4．