Question

【題目】如圖，矩形 ABCD 中，對角線 AC 的垂直平分線交 AD 、BC 于點 E 、F ， AC 與EF 交于點O ，連結 AF 、CE 。

（1）求證：四邊形 AFCE 是菱形；

（2）若 AB 4, AD 8 ，求菱形 AFCE 的邊長。

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)3.

【解析】

（1）由矩形的性質得出AD∥BC,∠EAO=∠FCO,證明△AEO≌△CFO,得出AE=CF,證出四邊形AFCE是平行四邊形,再由對角線AC⊥EF,即可得出結論; （2）設AF=CF=x,則BF=8－x,在Rt△ABF中,根據勾股定理得出方程,解方程即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,AD=BC,

∴∠EAO=∠FCO,

∵EF是AC的垂直平分線,

∴AO=CO,∠EOA=∠FOC=90°,

在△AEO和△CFO中,

,

∴△AEO≌△CFO（ASA）,

∴AE=CF,

∴四邊形AFCE是平行四邊形,

又∵AC⊥EF,

∴四邊形AFCE是菱形;

（2）解：∵四邊形AFCE是菱形,

∴AF=CF, 設AF=CF=x,則BF=8-x,

在Rt△ABF中,AF2=AB2+BF2,

即x2=42+（8-x）2， 解得 x= 3,

∴菱形AFCE的邊長為3．