Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過原點，頂點為，且與直線相交于兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求、兩點的坐標；

（3）若點為軸上的一個動點，過點作軸與拋物線交于點，則是否存在以為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）；坐標為或或或.

【解析】

（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，
（2）聯立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；
（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得或，可求得N點的坐標

解：（1）∵頂點坐標為，

∴設拋物線解析式為，

又拋物線過原點，∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：，

即.

（2）聯立拋物線和直線解析式可得，

解得：或，

∴，；

（3）存在；坐標為或或或.

理由：假設存在滿足條件的點，

設，則，

∴，，

由（2）知，，，

∵軸于點，

∴，

∴當和相似時，有或，

①當時，

∴，即，

∵當時、、不能構成三角形，

∴，

∴，

∴，

解得：或，

此時點坐標為：或；

②當時，

∴，

即，

∴，

∴，

解得：或，

此時點坐標為：或，

綜上可知，在滿足條件的點，其坐標為：或或或.