Question

【題目】如圖1，直線PQ的同側有兩點M，N，點T在直線PQ上，若∠MTP=∠NTQ，則稱點M，N為關于直線PQ的衍射點．如圖2，BD是矩形ABCD的對角線，E是邊BC延長線上的一點，且CE=BC，連接AE交CD于點F，交BD于點P，連接BF，CP．

(1)求證：點A，B是關于直線CD的衍射點．

(2)若點C，F是關于直線BD的衍射點，CP=2PF=2，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）6

【解析】

（1）由矩形的性質得∠BCD=90°,因為BC=CE,可得FB=FE,故可得∠BFC=∠EFC,，再由∠AFD=∠EFC可得∠AFD=∠BFC進而得到結論；

（2）首先證明△ADF≌△ECF得出F點是DC的中點，再證明△DPF∽△BPA求得，進而得出AP=CP，再證明△ABP≌△CBP得出AB=BC, 作PQ⊥AB，垂足為點Q，運用勾股定理求出AQ的長以及BQ的長，從而可得AB的長.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∵BC=CE,

∴FC垂直平分BE，

∴BF=EF，

∴∠BFC=∠EFC,

∵∠AFD=∠EFC,

∴∠AFD=∠BFC,

∴點A，B是關于直線CD的衍射點;

（2）∵BC=CE,

又∵BC=AD，

∴CE=AD

在△ADF和△ECF中，

∴△ADF≌△ECF,

∴DF=CF=,

∵DF∥AB,

∴△DPF∽△BPA

∴,即

∴,

∵,

∴AP=CP,

又∵點C，F是關于直線BD的衍射點，

∴∠BPC=∠DPF,

∵∠DPF=∠APB,

∴∠BPC=∠APB,

∵AP=PC,BP=BP,

∴△ABP≌△CBP,

∴∠ABP=∠CBP,AB=BC,

又∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°,

∴∠ABP=,

作PQ⊥AB，垂足為點Q，

在Rt△BPQ中，BQ=PQ,

設BQ=x，∴PQ=x，

∵,

∴,即,

∴AQ=x，

在Rt△APQ中，,

∴

解得，

∴BQ=4,AQ=2,

∴AB=BQ+AB=4+2=6.