Question

【題目】如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，

∴△AEH∽△ABC；

（2）證明：∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，

∴四邊形EFDM是矩形，

∴EF＝DM.設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為xcm，

∵△AEH∽△ABC，∴ ，∴ ，解得x＝ .

∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為 cm，面積為 cm2.

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)證得EH∥BC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)證得兩組對(duì)應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論。
（2）先證明四邊形EFDM是矩形，得出EF＝DM，因此設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，就可表示出AM的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比，建立方程，即可求出結(jié)果。