Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，∠B＝90°．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果P,Q分別從A,B同時出發(fā)，設移動時間為t（s）．

（1）當t=2時，求△PBQ的面積；
（2）當 為多少時，四邊形APQC的面積最小？最小面積是多少？
（3）當 為多少時，△PQB與△ABC相似．

Answer 1

【答案】
（1）解：當t=2時，AP=2，BQ=4，PB=4，
∴ = （cm2）

（2）解：∵AP= ，BQ=2t，PB=6-t，
∴ =

= ，
∴當t=3時， 有最小值27cm2

（3）解：∵△PQB、△ABC是直角三角形，
∴由 ，即 ，
解得t=3，
由 ，即 ，
解得t=1.2，
∴當t=1.2或t=3時，△PQB與△ABC相似

【解析】（1）當t=2時，分別根據(jù)點P、點Q的運動速度和運動方向求出BP、BQ的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出結(jié)果。
（2）先分別用含t的代數(shù)式表示出AP、BQ、BP的長，再根據(jù)四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積，建立函數(shù)關(guān)系式，然后將此函數(shù)解析式化成頂點式，即可求出四邊形APQC的面積最小最小值及此時t的值。
（3）分兩種情況討論：當∠A=∠QPB時；當∠A=∠PQB時，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，建立關(guān)于t的方程，解方程求解即可。