Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象的頂點坐標為，直線與該二次函數的圖象交于，兩點，其中點的坐標為，點在軸上．是軸上的一個動點，過點作軸的垂線分別與直線和二次函數的圖象交于，兩點．

（1）求的值及這個二次函數的解析式；

（2）若點的橫坐標，求的面積；

（3）當時，求線段的最大值；

（4）若直線與二次函數圖象的對稱軸交點為，問是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)，；(2)；(3) DE的最大值為；(4)存在，點的坐標為或()或(，0)

【解析】

(1)根據直線 經過點A(3，4)求得m=1，根據二次函數圖象的頂點坐標為M(1，0)，且經過點A(3，4)即可求解；
(2)先求得點的坐標，點D的坐標，根據三角形面積公式即可求解；

(3)由題意得，則根據二次函數的性質即可求解；

(4)分兩種情況：D點在E點的上方、D點在E點的下方，分別求解即可．

(1)∵直線經過點，
∴，

∴，
∵二次函數圖象的頂點坐標為，
∴設二次函數的解析式為：
∵拋物線經過，

∴，

解得：，
∴二次函數的解析式為：；
(2)把代入 得，
∴點的坐標為，
把代入得，
∴點D的坐標為(2，3)，
∴，

∴；
(3)由題意得，
∴

∴當(屬于 范圍)時，DE的最大值為；
(4) 滿足題意的點P是存在的，理由如下：

∵直線AB：，

當時，，

∴點N的坐標為(1，2)，

∴，
∵要使四邊形為平行四邊形只要，
∴分兩種情況：
①D點在E點的上方，則
，
∴，
解得：(舍去)或；
②D點在E點的下方，則

，

∴，

解得：或

綜上所述，滿足題意的點P是存在的，點P的坐標為或()或(，0) ．