Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點，連接OE．過點C作CF∥BD交線段OE的延長線于點F，連接DF．

求證：（1）△ODE≌△FCE；

（2）四邊形ODFC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ODE=∠FCE，根據線段中點的定義可得CE=DE，然后利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；

（2）根據全等三角形對應邊相等可得OD=FC，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據矩形的對角線互相平分且相等可得OC=OD，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．

（1）∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE．

∵E是CD中點，∴CE=DE．在△ODE和△FCE中，∵，∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC．

∵CF∥BD，∴四邊形ODFC是平行四邊形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四邊形ODFC是菱形．