Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D在斜邊AB上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F．

（1）當∠ACD＝∠BCD時，求證：四邊形DECF是正方形；

（2）當∠BCD＝∠A時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由垂直的定義可得出∠DEC＝∠DFC，結合∠ECF＝90°可得出四邊形DECF為矩形，由∠ACD＝∠BCD可得出CD平分∠ACB，利用角平分線的性質可得出DE＝DF，再利用“鄰邊相等的矩形是正方形”可證出四邊形DECF是正方形；

（2）由∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，∠BCD＝∠A可得出∠A+∠ACD＝90°，利用三角形內角和定理可求出∠ADC＝90°，由∠DCF＝∠A，∠DFC＝∠ADC＝90°可證出△CDF∽△ACD，再利用相似三角形的性質可證出．

證明：（1）∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC＝∠DFC＝90°，

又∵∠ECF＝90°，

∴四邊形DECF為矩形．

∵∠ACD＝∠BCD，

∴CD平分∠ACB，

∴DE＝DF，

∴四邊形DECF是正方形．

（2）∵∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，∠BCD＝∠A，

∴∠A+∠ACD＝90°，

∴∠ADC＝180°﹣90°＝90°．

∵∠DCF＝∠A，∠DFC＝∠ADC＝90°，

∴△CDF∽△ACD，

∴．