Question

【題目】如圖1，將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點A對稱點D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF，HG折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形，類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼合成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形．

（1）將□ABCD紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形AEFG，則操作形成的折痕分別是線段_______，_________；S矩形AEFG：S□ABCD=__________．

（2）□ABCD紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的長；

（3）如圖4，四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把該紙片折疊，得到疊合正方形，請你幫助畫出一種疊合正方形的示意圖，并求出AD、BC的長．

Answer 1

【答案】 AE GF 1：2

【解析】分析：（1）由圖可直接得到第一、二空答案，根據折疊的性質可得△AEH與△ABE面積相等、梯形HFGA與梯形FCDG面積相等，據此不難得到第三空答案；

（2）對圖形進行點標注，如圖所示：首先根據勾股定理求得FH的長，再根據折疊的性質以及請到的知識可得AH=FN，HD=HN，然后根據線段和差關系即可得到AD的長；

（3）根據題目信息，動手這一下，然后將結合畫出來，再結合折疊的性質以及勾股定理的知識分析解答即可.

詳解：（1）根據題意得：操作形成的折痕分別是線段AE、GF；

由折疊的性質得：△ABE≌△AHE，四邊形AHFG≌四邊形DCFG，

∴△ABE的面積=△AHE的面積，四邊形AHFG的面積=四邊形DCFG的面積，

∴S矩形AEFG=S平行四邊形ABCD，

∴S矩形AEFG：S平行四邊形ABCD=1：2；

故答案為：AE，GF，1：2；

（2）∵四邊形EFGH是矩形，

∴∠HEF=90°，

∴FH==13，

由折疊的性質得：AD=FH=13；

由折疊的對稱性可知：DH=NH，AH=HM，CF=FN.

易得△AEH≌CGF，

所以CF=AH，

所以AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.

（3）有3種折法，如圖4、圖5、圖6所示：

①折法1中，如圖4所示：

由折疊的性質得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，

∵四邊形EFMB是疊合正方形，

∴BM=FM=4，

∴GM=CM==3，

∴AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；

②折法2中，如圖5所示：

由折疊的性質得：四邊形EMHG的面積=梯形ABCD的面積，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，

∴GH=CD=5，

∵四邊形EMHG是疊合正方形，

∴EM=GH=5，正方形EMHG的面積=52=25，

∵∠B=90°，

∴FM=BM==3，

設AD=x，則MN=FM+FN=3+x，

∵梯形ABCD的面積=（AD+BC）×8=2×25，

∴AD+BC=，

∴BC=-x，

∴MC=BC-BM=-x-3，

∵MN=MC，

∴3+x=-x-3，

解得：x=，

∴AD=，BC=-=；

③折法3中，如圖6所示，作GM⊥BC于M，

則E、G分別為AB、CD的中點，

則AH=AE=BE=BF=4，CG=CD=5，正方形的邊長EF=GF=4，

GM=FM=4，CM==3，

∴BC=BF+FM+CM=11，FN=CF=7，DH=NH=8-7=1，

∴AD=5．