Question

19．如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后，折痕DE分別交AB，AC于點E、G，連接GF，有下列結論：
①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=$\sqrt{2}$+1；③四邊形AEFG是菱形；④S_△ACD=$\sqrt{3}$S_△OCD．
其中正確結論的序號是①②③．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 根據翻轉變換的性質、正方形的性質進行計算，判斷即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，
由折疊的性質可知，∠ADE=∠BDE=22.5°，
∴∠AGD=180°-90°-22.5°=112.5°，①正確；
設AE=x，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=1，
解得，x=$\sqrt{2}$-1，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\sqrt{2}$+1，②正確；
由同位角相等可知，GF∥AB，EF∥AC，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，
由折疊的性質可知，EA=EF，
∴四邊形AEFG是菱形，③正確；
由正方形的性質可知，S_△ACD=2S_△OCD，④錯誤，
故答案為：①②③．

點評 本題考查的是翻轉變換的性質、菱形的性質、解直角三角形的應用，掌握翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．