Question

【題目】已知關于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：

（1）若k＝3，求方程的解；

（2）若方程恰有兩個不同解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x1＝，x2＝1，x3＝；（2）k≤0或k＝1或k≥4．

【解析】

（1）將k＝3代入原方程，然后根據絕對值的性質把原方程化成兩個一元二次方程進行解答；

（2）由于x＝1恒為方程|x21|＝（x1）（kx2）的解，當x≠1時，只需函數y＝與函數y＝kx2的圖象只有一個交點就可以，畫出x≠1時函數y＝，根據圖象確定直線y＝kx2與函數y＝圖象只有一個交點時，k的取值范圍便可．

解：（1）把k＝3代入|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）中，得|x2﹣1|＝（x﹣1）（3x﹣2），

當x2＞1，即x＞1或x＜﹣1時，原方程可化為：x2﹣1＝（x﹣1）（3x﹣2），

解得，x＝1（舍），或x＝；

當x2≤1，即﹣1≤x≤1時，原方程可化為：1﹣x2＝（x﹣1）（3x﹣2），

解得，x＝1，或x＝；

綜上，方程的解為x1＝，x2＝1，x3＝；

（2）∵x＝1恒為方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）的解，

∴當x≠1時，方程兩邊都同時除以x﹣1得，=kx﹣2，

要使此方程只有一個解，只需函數y＝與函數y＝kx﹣2的圖象只有一個交點．

∵函數：，

作出函數圖象，

由圖象可知，當k＜0時，直線y＝kx﹣2與函數y＝圖象只有一個交點；

當k＝0時，直線y＝kx﹣2＝﹣2與函數y圖象只有一個交點；

當k＝1時，y＝kx﹣2＝x﹣2與y＝x+1平行，則與函數y＝圖象只有一個交點；

∵當直線y＝kx﹣2過（1，2）點時，2＝k﹣2，則k＝4，

∴函數圖象可知，當k≥4時，直線y＝kx﹣2與函數y＝圖象也只有一個交點，

∴要使函數圖象與y＝kx﹣2圖象有且只有一個交點，則實數k的取值范圍是k≤0或k＝1或k≥4．

綜上，實數k的取值范圍：k≤0或k＝1或k≥4．