Question

【題目】如圖，點A、B、C、D均在⊙O上，FB與⊙O相切于點B，AB與CF交于點G，OA⊥CF于點E，AC∥BF．

（1）求證：FG=FB．

（2）若tan∠F=，⊙O的半徑為4，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）根據等腰三角形的性質，可得∠OAB=∠OBA，根據切線的性質，可得∠FBG+OBA=90°，根據等式的性質，可得∠FGB=∠FBG，根據等腰三角形的判定，可得答案；

（2）根據平行線的性質，可得∠ACF=∠F，根據等角的正切值相等，可得AE，根據勾股定理，可得答案．

（1）證明：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵OA⊥CD，

∴∠OAB+∠AGC=90°．

∵FB與⊙O相切，

∴∠FBO=90°，

∴∠FBG+OBA=90°，

∴AGC=∠FBG，

∵∠AGC=∠FGB，

∴∠FGB=∠FBG，

∴FG=FB；

（2）如圖

，

設CD=a，

∵OA⊥CD，

∴CE=CD=a．

∵AC∥BF，

∴∠ACF=∠F，

∵tan∠F=，

tan∠ACF==，即，

解得AE=a，

連接OC，OE=4﹣a，

∵CE2+OE2=OC2，

∴（a）2+（4﹣a）2=4，

解得a=，

CD=．