Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）

（1）填空：c=　 　；（用含b的式子表示）

（2）b＜4．

①求證：拋物線與x軸有兩個交點；

②設拋物線與x軸的另一個交點為B，當線段AB上恰有5個整點（橫坐標、縱坐標都是整數的點），求b的取值范圍；

（3）平移拋物線，使其頂點P落在直線y=3x﹣2上，設拋物線與直線的另一個交點為Q，C在該直線下方的拋物線上，求△CPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2b﹣4；（2）①詳見解析；②﹣1＜b≤0；（3）△CPQ面積的最大值為．

【解析】

（1）將點A的坐標代入拋物線的解析式求解即可；

（2）①由（1）可知拋物線的解析式為y＝x2＋bx＋2b4，然后證明△＞0即可；

②當點B在點A的右側時，0≤＜；當點B在點A的左側時，4.5＜≤4，從而可求得b的取值范圍；

（3）以平移后拋物線的頂點為坐標原點建立坐標系，則在新坐標系內拋物線的解析式為y＝x2，直線的解析式為y＝3x．過點C作CD∥y軸，交直線于點D．設點C的坐標為（x，x2），則點D的坐標為（x，3x），則DC＝3xx2，然后建立三角形的面積與x的函數關系式求解即可．

解：（1）將點A的坐標代入y=x2+bx+c得：4﹣2b+c=0，

∴c=2b﹣4，

故答案為：2b﹣4；

（2）①由（1）可知拋物線的解析式為y=x2+bx+2b﹣4，

∴△=b2﹣4（2b﹣4）=b2﹣8b+16=（b﹣4）2，

又∵b＜4，

∴△＞0，

∴拋物線與x軸有兩個交點；

②當點B在點A的右側時．

∵線段AB上恰有5個整點，

∴0≤＜，即0≤﹣b＜，

∴﹣1＜b≤0；

當點B在點A的左側時，

∵線段AB上恰有5個整點，

∴﹣4.5＜≤﹣4，即﹣4.5＜﹣b≤﹣4．

∴8≤b＜9．

解得：﹣1＜b≤0或8≤b＜9，

又∵b＜4，

∴b的取值范圍是：﹣1＜b≤0；

（3）如圖所示：

以平移后拋物線的頂點為坐標原點建立坐標系，則在新坐標系內拋物線的解析式為y=x2，直線的解析式為y=3x．

過點C作CD∥y軸，交直線于點D，

將y=3x代入y=x2得3x=x2，解得：x=0或x=3，

設點C的坐標為（x，x2），則點D的坐標為（x，3x），則DC=3x﹣x2，

∴△PQC的面積=DC|xQ﹣xP|=×3×（3x﹣x2）=﹣x2+=﹣（x﹣）2+，

∴△CPQ面積的最大值為．