Question

【題目】等腰Rt△ABC，點D為斜邊AB上的中點，點E在線段BD上，連結CD，CE，作AH⊥CE，垂足為H，交CD于點G，AH的延長線交BC于點F.

（1）求證：△ADG≌△CDE.

（2）若點H恰好為CE的中點，求證：∠CGF=∠CFG.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據已知條件可得出AD=CD=BD，∠CGH+∠GCH=∠AGD+∠GAD=90°，繼而得出∠GAD=∠GCH，從而結論得以證明．

（2）由已知條件可得，∠CAH=∠EAH，繼而得出∠AGD=∠=CGH=∠CFG．

解：（1）在等腰Rt△ABC中，

∵ 點D為斜邊AB上的中點

∴ CD=AB，CD⊥AB

∵AD=AB

∴AD=CD

∵ CD⊥AB

∴ ∠ADG=∠CDE=90°

∵AH⊥CE

∴∠CGH+∠GCH=90°

∵∠AGD+∠GAD=90°

又∵∠AGD=∠CGH

∴∠GAD=∠GCH

在△△ADG和△CDE中

∵∠ADG=∠CDE=90°,AD=CD,∠GAD=∠GCH

∴△ADG≌△CDE…

（2）∵AH⊥CE，點H為CE的中點

∴AC=AE

∴∠CAH=∠EAH

∵∠CAH+∠AFC=90°

∠EAH+∠AGD=90°

∴∠AFC=∠AGD

∵∠AGD=∠CGH

∴∠AFC=∠CGH

即∠CGF=∠CFG．