Question

【題目】如圖，O是正△ABC內一點，OA＝6，OB＝8，OC＝10，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO'，下列結論：①△BO'A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與O′的距離為6；③∠AOB＝150°；④S△BOC＝12+6； ⑤S四邊形AOBO′＝24+12．其中正確的結論是_____．（填序號）

Answer 1

【答案】①③

【解析】

證明△BO′A≌△BOC即可說明△BO'A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，①正確；根據旋轉的性質可知△BOO′是等邊三角形，則點O與O'的距離為8，②錯誤；根據勾股定理的逆定理得到△AOO′是直角三角形，求得Rt△AOO′面積為×6×8＝24，又等邊△BOO′面積為×8×4＝16，得到四邊形AOBO'的面積為24+16，⑤錯誤；求得∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正確；過B作BE⊥AO交AO的延長線于E，根據三角形的面積公式即可得到S△BOC＝S四邊形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故④錯誤．

在△BO′A和△BOC中，

，

∴△BO′A≌△BOC（SAS）．

∴O′A＝OC，

∴△BO'A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，①正確；

如圖1，連接OO′，根據旋轉的性質可知△BOO′是等邊三角形，

∴點O與O'的距離為8，②錯誤；

在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．

∴Rt△AOO′面積為×6×8＝24，

又等邊△BOO′面積為×8×4＝16，

∴四邊形AOBO'的面積為24+16，⑤錯誤；

∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正確；

過B作BE⊥AO交AO的延長線于E，

∵∠AOB＝150°，

∴∠BOE＝30°，

∵OB＝8，

∴BE＝4，

∴S△AOB＝×4×6＝12，

∴S△BOC＝S四邊形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故④錯誤，

故答案為：①③．