Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－8.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E.

①設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；

②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）①

②滿足題意的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是

【解析】

（1）利用直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；

（2）①利用直線解析式和拋物線解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根據(jù)直線k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式整理即可得解，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；

②分（i）點(diǎn)G在y軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角邊”證明△APH和△GAO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PH=AO=2，然后利用二次函數(shù)解析式求解即可；（ii）點(diǎn)F在y軸上時(shí)，過點(diǎn)PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AP=FP，∠APF=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角邊角”證明△APM和△FPN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PM=PN，從而得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，再根據(jù)二次函數(shù)的解析式求解即可．

解：（1）令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A（2，0），B（﹣8，），把點(diǎn)A、B代入拋物線得，，解得：，所以，該拋物線的解析式；

（2）①∵點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)D在直線上，∴PD=，∵PE⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x軸，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，∵直線解析式，∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，∴PE=PDcos∠DPE=PD，DE=PDsin∠DPE=PD，∴△PDE的周長(zhǎng)為l=PD+PD+PD=PD==，即；∵，∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，最大值為15；

②∵點(diǎn)A（2，0），∴AO=2，

分（i）點(diǎn)G在y軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，∴∠PAH=∠AGO，在△APH和△GAO中，∵∠PAH=∠AGO，∠AHP=∠GOA=90°，AP=AG，∴△APH≌△GAO（AAS），∴PH=AO=2，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，∴，整理得，，解得，∴點(diǎn)P（，2）或P（，2）；

（ii）點(diǎn)F在y軸上時(shí)，過點(diǎn)PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，∴∠APM=∠FPN，在△APM和△FPN中，∵∠APM=∠FPN，∠AMP=∠FNP=90°，AP=AF，∴△APM≌△FPN（AAS），∴PM=PN，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，∴，整理得，，解得，（舍去），∴點(diǎn)P(，)．

綜上所述，存在點(diǎn)P(，2)或P(，2)或P(，)．