Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C與AD交于點E，AD的延長線與A'D'交于點F．

（1）如圖①，當α=60°時，連接DD'，求DD'和A'F的長；

（2）如圖②，當矩形A'B'CD'的頂點A'落在CD的延長線上時，求EF的長；

（3）如圖③，當AE=EF時，連接AC，CF，求ACCF的值．

Answer 1

【答案】（1）DD′=3，A′F= 4﹣；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）①如圖①中，∵矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉α角，得到矩形A'B'C'D'，只要證明△CDD′是等邊三角形即可解決問題；

②如圖①中，連接CF，在Rt△CD′F中，求出FD′即可解決問題；

（2）由△A′DF∽△A′D′C，可推出DF的長，同理可得△CDE∽△CB′A′，可求出DE的長，即可解決問題；

（3）如圖③中，作FG⊥CB′于G，由S△ACF=ACCF=AFCD，把問題轉化為求AFCD，只要證明∠ACF=90°，證明△CAD∽△FAC，即可解決問題；

試題解析：（1）①如圖①中，∵矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉α角，得到矩形A'B'C'D'，∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°，∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等邊三角形，∴DD′=CD=3．

②如圖①中，連接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，∴△CDF≌△CD′F，∴∠DCF=∠D′CF=∠DCD′=30°，在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF=，∴D′F=，∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣．

（2）如圖②中，在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，∴A′C2=A′D′2+CD′2，∴A′C=5，A′D=2，∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，∴△A′DF∽△A′D′C，∴，∴，∴DF=，同理可得△CDE∽△CB′A′，∴，∴，∴ED=，∴EF=ED+DF=．

（3）如圖③中，作FG⊥CB′于G．，∵四邊形A′B′CD′是矩形，∴GF=CD′=CD=3，∵S△CEF=EFDC=CEFG，∴CE=EF，∵AE=EF，∴AE=EF=CE，∴∠ACF=90°，∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，∴△CAD∽△FAC，∴，∴AC2=ADAF，∴AF=，∵S△ACF=ACCF=AFCD，∴ACCF=AFCD=．