Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD//BC，交AB于點D，連接PQ分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代數式分別表示：QB= ， PD= ．
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．并探究如何改變Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；
（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）8﹣2t；
t
（2）

解：不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD//BC，

∴△APD∽△ACB，

∴ ，即 ，

∴AD= t，

∴BD=AB﹣AD=10﹣ t，

∵BQ//DP，

∴當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，

即8﹣2t= ，解得：t= ．

當t= 時，PD= = ，BD=10﹣ × =6，

∴DP≠BD，

∴PDBQ不能為菱形．

設點Q的速度為每秒v個單位長度，

則BQ=8﹣vt，PD= t，BD=10﹣ t，

要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，

當PD=BD時，即 t=10﹣ t，解得：t=

當PD=BQ，t= 時，即 =8﹣ ，解得：v=

當點Q的速度為每秒 個單位長度時，經過 秒，四邊形PDBQ是菱形

（3）

解：如圖2，以C為原點，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系．

依題意，可知0≤t≤4，當t=0時，點M1的坐標為（3，0），當t=4時點M2的坐標為（1，4）．

設直線M1M2的解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得 ，

∴直線M1M2的解析式為y=﹣2x+6．

∵點Q（0，2t），P（6﹣t，0）

∴在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標（ ，t）．

把x= 代入y=﹣2x+6得y=﹣2× +6=t，

∴點M3在直線M1M2上．

過點M2作M2N⊥x軸于點N，則M2N=4，M1N=2．

∴M1M2=2

∴線段PQ中點M所經過的路徑長為2 單位長度．

【解析】解：（1）根據題意得：CQ=2t，PA=t，
∴QB=8﹣2t，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD//BC，
∴∠APD=90°，
∴tanA= = ，
∴PD= t．
所以答案是：（1）8﹣2t， t．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質和相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．