Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，連接，將繞點逆時針旋轉得，連接，為的中點，連接，.

（1）如圖1，當時，求證：；

（2）如圖2，當時，（1）還成立嗎？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當時，成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）由旋轉的性質得：，根據直角三角形斜邊中線的性質可得OD=CF，OE=CF，進而可得OD=OE；

（2）連接CE、DF，根據等腰三角形的性質可得，利用角的和差關系可得，利用SAS可證明△ACE≌△AFD，可得CE=DF，∠ECA=∠DFA，利用角的和差關系可得，利用SAS可證明△EOC≌△DOF，即可證明OD=OE，可得（1）結論成立.

（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，

∴∠BAC=45°，

∵將繞點逆時針旋轉得，=45°，

∴點E在AC上，

∴，為的中點，

∴

同理：

∴.

（2）當時，成立，理由如下：

連接，如圖所示：

∵在正方形中，，AB=AE，

∴，

∵為的中點，

∴，

∵，

∴，

∵=45°，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴.