Question

已知二次函數y=x²–kx+k–1（k＞2）.

（1）求證：拋物線y=x²–kx+k-1（k＞2）與x軸必有兩個交點；
（2）拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C,若，求拋物線的表達式；
（3）以（2）中的拋物線上一點P（m,n）為圓心，1為半徑作圓，直接寫出：當m取何值時，x軸與相離、相切、相交.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）；（3）當或時，x軸與相離.；
當或或時，x軸與相切； 當或時，x軸與相交.

解析試題分析：（1）令y=0，得到一個關于字母x的一元二次方程，求出此方程的判別式的值為，根據k>2，可得，即可得到答案.
（2）令，有；解得：. 根據k的取值以及點A、B的位置確定 ；由拋物線與y軸交于點C得：；根據Rt中∠OAC的正切值求得k的取值，進而可得拋物線的表達式.（3）根據直線與圓的位置關系是由圓心到直線的距離和圓的半徑確定的，當⊙P與x軸相切時，即y=±1；根據相切時m的取值即可作出判斷，注意分類討論.
試題解析：
（1）證明：∵，
又∵，
∴.
∴即. 
∴拋物線y = x² – kx + k - 1與x軸必有兩個交點.
(2) 解：∵拋物線y = x² – kx + k -1與x軸交于A、B兩點，
∴令，有.
解得：. 
∵，點A在點B的左側，
∴.
∵拋物線與y軸交于點C,
∴.
∵在Rt中, ,
∴,  解得.
∴拋物線的表達式為.
（3）解：當或時，x軸與相離. 
當或或時，x軸與相切.
當或時，x軸與相交.
考點：1、根的判別式；2、求二次函數的解析式；3、直線與圓的位置關系.