Question

【題目】如圖所示，已知在△ABC中，AB=AC，BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且BD和CE相交于O點.

（1）試說明△OBC是等腰三角形；

（2）連接OA，試判斷直線OA與線段BC的關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）直線AO垂直平分BC

【解析】

（1）根據對邊對等角得到∠ABC=∠ACB，再結合角平分線的定義得到∠OBC=∠OCB，從而證明OB=OC；

（2）首先根據全等三角形的判定和性質得到OA平分∠BAC，再根據等腰三角形的三線合一的性質得到直線AO垂直平分BC．

（1）∵ 在△ABC中，AB=AC，

∴ ∠ABC=∠BCA，

∵ BD、CE分別平分∠ABC、∠BCA，

∴ ∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE，

∴ ∠OBC=∠BCO，

∴ OB=OC，

∴ △OBC為等腰三角形；

（2）在△AOB與△AOC中，

∵，

∴△AOB≌△AOC（SSS），

∴∠BAO=∠CAO，∴直線AO垂直平分BC．（等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合）