Question

【題目】問題情境：如圖①，在△ABD與△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易證：△ABD≌△CAE．（不需要證明）

特例探究：如圖②，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，且BD=AE，AD與CE交于點F．求證：△ABD≌△CAE．

歸納證明：如圖③，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊CB、BA的延長線上，且BD=AE．△ABD與△CAE是否全等？如果全等，請證明；如果不全等，請說明理由．

拓展應用：如圖④，在等腰三角形中，AB=AC，點O是AB邊的垂直平分線與AC的交點，點D、E分別在OB、BA的延長線上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度數．

Answer 1

【答案】證明見解析，∠BAD＝18°

【解析】特例探究：利用等邊三角形的三條邊都相等、三個內角都是60°的性質推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后結合已知條件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS證得△ABD≌△CAE．

歸納證明：△ABD與△CAE全等．利用等邊三角形的三條邊都相等、三個內角都是60°的性質以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后結合已知條件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS證得△ABD≌△CAE；

拓展應用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的對應角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度數．

解：特例探究：

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，

在△ABD與△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（SAS）；

歸納證明：

△ABD與△CAE全等．理由如下：

∵在等邊△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，

∴∠DBA=∠EAC=120°．

在△ABD與△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（SAS）；

拓展應用：

∵點O在AB的垂直平分線上，

∴OA=OB，

∴∠OBA=∠BAC=50°，

∴∠EAC=∠DBC．

在△ABD與△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴∠BDA=∠AEC=32°，

∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．