Question

【題目】如圖，四邊形OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸正半軸上，位于第一象限的點A和第二象限的點C分別在雙曲線y1＝ 和y2＝ 的一支上，分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結論：① ②陰影部分面積是（k1﹣k2）③當∠AOC＝90°時，|k1|＝|k2|；④若四邊形OABC是菱形，則兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱．其中正確的結論是_____．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

作AE⊥y軸于點E，CF⊥y軸于點F，根據平行四邊形的性質得S△AOB=S△COB，利用三角形面積公式得到AE=CF，則有OM=ON，再利用反比例函數k的幾何意義和三角形面積公式得到S△AOM=|k1|=OMAM，S△CON=|k2|=ONCN，所以有；由S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，得到S陰影=S△AOM+S△CON=(|k1|+|k2|)=(k1-k2)；當∠AOC=90°，得到四邊形OABC是矩形，由于不能確定OA與OC相等，則不能判斷△AOM≌△CNO，所以不能判斷AM=CN，則不能確定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根據菱形的性質得OA=OC，可判斷Rt△AOM≌Rt△CNO，則AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=-k2，根據反比例函數的性質得兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱．

作AE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，如圖，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴S△AOB=S△COB，

∴AE=CF，

∴OM=ON，

∵S△AOM=|k1|=OMAM，S△CON=|k2|=ONCN，

∴，故①正確；

∵S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，

∴S陰影部分=S△AOM+S△CON=(|k1|+|k2|)，

而k1＞0，k2＜0，

∴S陰影部分=(k1-k2)，故②正確；

當∠AOC=90°，

∴四邊形OABC是矩形，

∴不能確定OA與OC相等，

而OM=ON，

∴不能判斷△AOM≌△CNO，

∴不能判斷AM=CN，

∴不能確定|k1|=|k2|，故③錯誤；

若OABC是菱形，則OA=OC，

而OM=ON，

∴Rt△AOM≌Rt△CNO，

∴AM=CN，

∴|k1|=|k2|，

∴k1=-k2，

∴兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱，故④正確，

故答案為：①②④．