Question

19．如圖，AD為△ABC的中線，AB=AC，∠BAC=45°，過點C作CE⊥AB，垂足為E，CE與AD交于點F．
（1）求證：△AEF≌△CEB；
（2）試探索AF與CD的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等，證明∠BAD=∠BCE，利用ASA證明即可解答；
（2）由全等三角形的性質得出AF=BC，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACE=90°-45°=45°，
∴∠EAC=∠ACE，
∴AE=CE．
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，BC=2CD，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
在△AEF和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠CEB}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\\{∠EAF=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB（ASA）；
（2）解：AF=2CD；理由如下：
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∵BC=2CD，
∴AF=2CD．

點評 本題考查了全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是熟記全等三角形的判定方法．