Question

【題目】已知函數 ． （Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知 ，a=2， ，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） =sin2xcos +cos2xsin +cos2x = sin2x+ cos2x= （ sin2x+ cos2x）= sin（2x+ ）．
令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，
函數f（x）的單調遞增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈z．
（Ⅱ）由已知 ，可得 sin（2A+ ）= ，
因為A為△ABC內角，由題意知0＜A＜π，所以 ＜2A+ ＜ ，
因此，2A+ = ，解得A= ．
由正弦定理 ，得b= ，…
由A= ，由B= ，可得 sinC= ，…
∴S= absinC= = ．
【解析】（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公化簡函數的解析式為 sin（2x+ ），令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得x的范圍，即可求得f（x）的單調遞增區間．（Ⅱ）由已知 ，可得 sin（2A+ ）= ，求得A= ，再利用正弦定理求得b的值，由三角形內角和公式求得C的值，再由 S= absinC，運算求得結果．
【考點精析】通過靈活運用兩角和與差的正弦公式和正弦函數的單調性，掌握兩角和與差的正弦公式：；正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數即可以解答此題．