Question

【題目】如圖，O是正△ABC內一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+3；其中正確的結論是(　　)

A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB＝150°，故結論③正確；S四邊形AOBO′＝S△AOO′＋S△OBO′＝×3×4＋ ＝6＋ ，故結論④錯誤．

解：如圖，

由題意可知，∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝60°，

∴∠1＝∠3，

又∵OB＝O′B，AB＝BC，

∴△BO′A≌△BOC，

又∵∠OBO′＝60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，

故結論①正確；

如圖，連接OO′，

∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，

∴△OBO′是等邊三角形，

∴OO′＝OB＝4．

故結論②正確；

∵△BO′A≌△BOC，

∴O′A＝5．

在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，

∴∠AOB＝∠AOO′＋∠BOO′＝90°＋60°＝150°，

故結論③正確；

S四邊形AOBO′＝S△AOO′＋S△OBO′＝×3×4＋ ＝6＋，

故結論④錯誤；

故選：A．