Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A （a，b），B（c，d），若點T（x，y）滿足x＝，y＝，那么稱點T是點A和B的融合點．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），則點T（1，2）是點M和N的融合點．如圖，已知點D（3，0），點E是直線y＝x+2上任意一點，點T （x，y）是點D和E的融合點．

（1）若點E的縱坐標是6，則點T的坐標為　 　；

（2）求點T （x，y）的縱坐標y與橫坐標x的函數關系式：

（3）若直線ET交x軸于點H，當△DTH為直角三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（，2）；（2）y＝x﹣；（3）E的坐標為（，）或（6，8）

【解析】

（1）把點E的縱坐標代入直線解析式，求出橫坐標，得到點E的坐標，根據融合點的定義求求解即可；
（2）設點E的坐標為（a，a+2），根據融合點的定義用a表示出x、y，整理得到答案；
（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三種情況，根據融合點的定義解答．

解：（1）∵點E是直線y＝x+2上一點，點E的縱坐標是6，

∴x+2＝6，

解得，x＝4，

∴點E的坐標是（4，6），

∵點T （x，y）是點D和E的融合點，

∴x＝＝，y＝＝2，

∴點T的坐標為（，2），

故答案為：（，2）；

（2）設點E的坐標為（a，a+2），

∵點T （x，y）是點D和E的融合點，

∴x＝，y＝，

解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，

∴3x﹣3＝3y﹣2，

整理得，y＝x﹣；

（3）設點E的坐標為（a，a+2），

則點T的坐標為（，），

當∠THD＝90°時，點E與點T的橫坐標相同，

∴＝a，

解得，a＝，

此時點E的坐標為（，），

當∠TDH＝90°時，點T與點D的橫坐標相同，

∴＝3，

解得，a＝6，

此時點E的坐標為（6，8），

當∠DTH＝90°時，該情況不存在，

綜上所述，當△DTH為直角三角形時，點E的坐標為（，）或（6，8）