Question

【題目】（問題背景）解方程：x4﹣5x2+4=0．

這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，我們可以借助“換元法”將高次方程“降次”，進而解得未知數的值．

解：設 x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可變為 y2﹣5y+4=0，解得 y1=1，y2=4． 當 y1=1 時，x2=1，x=±1；當 y2=4 時，x2=4，x=±2；

原方程有四個根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．

（觸類旁通）參照例題解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0；

（解決問題）已知實數 x，y 滿足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）=27，求 x+y 的值；

（拓展遷移）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1．

Answer 1

【答案】[觸類旁通]：x1=﹣3，x2=2；[解決問題]：x+y=±3；[拓展遷移]（x+2）4．

【解析】

設y=x2+x，將原方程轉化為關于y的一元二次方程，通過解方程求得y即x2+x的值，然后再來解關于x的一元二次方程．

設 2x+2y= a，則根據平方差公式將原方程化為：（a+3）（a﹣3）=27，再將a值進行求解除以2即可.

設 x2+4x+3=a，則根據平方差公式將原方程化為：，再將a值代入即可求解.

[觸類旁通]：

（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0，

設 x2+x=y，則原方程化為：y2﹣4y﹣12=0， 解得：y1=6，y2=﹣2，

當 y=6 時，x2+x=6，解得：x=﹣3 或 2； 當 y=﹣2 時，x2+x=﹣2，

x2+x+2=0，

∵此方程中的△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，

∴此方程無解；

所以原方程的解為：x1=﹣3，x2=2；

[解決問題]：

（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）=27，

設 2x+2y=a，則原方程化為：（a+3）（a﹣3）=27，整理得：a2=36，

解得：a=±6， 即 2x+2y=±6， 所以 x+y=±3；

[拓展遷移]： 設 x2+4x+3=a，

則（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1

=a（a+2）+1

=a2+2a+1

=（a+1）2

=（x2+4x+3+1）2

=（x2+4x+4）2

=（x+2）4．