Question

【題目】已知：如圖⊙O是以等腰三角形ABC的底邊BC為直徑的外接圓，BD平分∠ABC交⊙O于D，且BD與OA、AC分別交于點E、F延長BA、CD交于G．

（1）試證明：BF=CG．

（2）線段CD與BF有什么數量關系？為什么？

（3）試比較線段CD與BE的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）線段2CD=BF，理由見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據圓周角定理以及全等三角形的判定得出△ABF≌△ACG即可求出答案；

（2）利用角平分線的性質以及圓周角定理得出△BDG≌△BDC，進而得出GD=CD，求出，即可得出答案；

（3）利用等腰三角形的性質得出BE=EC，再利用直角三角形邊之間大小關系求出即可．

（1）∵⊙O是以等腰三角形ABC的底邊BC為直徑的外接圓，

∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=∠DCA，

∴，

∴△ABF≌△ACG，（AAS）

∴BF=CG；

（2）線段2CD=BF，

證明：∵BD平分∠ABC交⊙O于D，

∴∠GBD=∠CBD，

∵BC為直徑，

∴∠BDC=90°，

∴，

∴△BDG≌△BDC，（AAS）

∴GD=CD，

∵BF=CG，

∴，

即，

∴2CD=BF；

（3）連接EC，

∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，

且BO=CO，

∴AO⊥BC（等腰三角形三線合一），

∴BE=EC，

∵∠EDC=90°，在△EDC中所對斜邊為EC，

∴EC＞CD（直角三角形中斜邊大與直角邊長），

∴BE＞CD．