Question

如圖，以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，1），直線x=1交x軸于點B．P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點C．過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=1于點N．
（1）當點C在第一象限時，求證：△OPM≌△PCN；
（2）當點C在第一象限時，設AP長為m，四邊形POBC的面積為S，請求出S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，△PBC能否成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°
∴四邊形OBNM為矩形
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°
∵MN∥OB，
∴∠2=∠3=45°
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6
∴△OPM≌△PCN

（2）∵AM=PM=APsin45°=

2

2

m，
∴OM=1-

2

2

m
∴S=S_矩形OBNM-2S_△POM=（1-

2

2

m）-2×

1

2

（1-

2

2

m）•

2

2

m
=

1

2

m²-

2

m+1（0≤m＜

2

2

）．

（3）△PBC可能成為等腰三角形
①當P與A重合時，PC=BC=1，此時P（0，1）
②當點C在第四象限，且PB=CB時
有BN=PN=1-

2

2

m
∴BC=PB=

2

PN=

2

-m
∴NC=BN+BC=1-

2

2

m+

2

-m
由（2）知：NC=PM=

2

2

m
∴1-

2

2

m+

2

-m=

2

2

m
整理得（

2

+1）m=

2

+1
∴m=1
∴PM=

2

2

m=

2

2

，BN=1-

2

2

m=1-

2

2

∴P（

2

2

，1-

2

2

）
由題意可知PC=PB不成立
∴使△PBC為等腰三角形的點P的坐標為（0，1）或（

2

2

，1-

2

2

）．