Question

【題目】在小學，我們知道正方形具有性質“四條邊都相等，四個內角都是直角”，請適當利用上述知識，解答下列問題：
已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點G是射線AB上的一個動點，以DG為邊向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于點H．

（1）填空：∠AGD+∠EGH=°；
（2）若點G在點B的右邊．
①求證：△DAG≌△GHE；
②試探索：EH﹣BG的值是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由．
（3）連接EB，在G點的整個運動（點G與點A重合除外）過程中，求∠EBH的度數；若點G是直線AB上的一個動點，其余條件不變，請直接寫出點A與點F之間距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）

解：①∵EH⊥AB，

∴∠GHE=90°，

∴∠GEH+∠EGH=90°，

又∠AGD+∠EGH=90°，

∴∠GEH=∠AGD，

∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形，

∴∠DAG=90°，DG=GE，

∴∠DAG=∠GHE，

在△DAG和△GHE中， ，

∴△DAG≌△GHE（AAS）；

②EH﹣BG的值是定值，

理由如下：

由①證得：△DAG≌△GHE，

∴AG=EH，

又AG=AB+BG，AB=4，

∴EH=AB+BG，EH﹣BG=AB=4

（3）

解：下面分兩種情況討論：

（I）當點G在點B的左側時，如圖1，同（2）①可證得：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴GB+BH=AG+GB，

∴BH=AG=EH，又∠GHE=90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°；

（II）如圖2，當點G在點B的右側時，

由（2）①證得：△DAG≌△GHE．

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴AB+BG=BG+GH，

∴AG=BH，又EH=AG

∴EH=HB，又∠GHE=90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°；

（ III）當點G與點B重合時，如圖3，同理可證：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，

∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°

綜上，在G點的整個運動（點G與點A重合除外）過程中，∠EBH都等于45°，

∴點A與點F之間距離的最小值為4．

【解析】解：（1）∵四邊形DGEF是正方形，
∴∠DGE=90°，
∴∠AGD+∠EGH=180°﹣∠DGE=90°，
所以答案是：90；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．