Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，

（1）求證：∠DHO=∠DCO．
（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周長和面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，

∵DH⊥AB，

∴DH⊥CD，∠DHB=90°，

∴OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，

∴OH=OD=OB，

∴∠1=∠DHO，

∵DH⊥CD，

∴∠1+∠2=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠2+∠DCO=90°，

∴∠1=∠DCO，

∴∠DHO=∠DCO

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OD=OB= BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，

在Rt△OCD中，CD= =5，

∴菱形ABCD的周長=4CD=20，

菱形ABCD的面積= ×6×8=24．

【解析】（1）先根據菱形的性質得OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，則利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB=90°，所以OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，得到OH=OD=OB，利用等腰三角形的性質得∠1=∠DHO，然后利用等角的余角相等證明結論；（2）先根據菱形的性質得OD=OB= BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，再根據勾股定理計算出CD，然后利用菱形的性質和面積公式求菱形ABCD的周長和面積．
【考點精析】掌握菱形的性質是解答本題的根本，需要知道菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．