Question

【題目】直線y=x﹣6與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點E從B點出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段BO向O點移動（不考慮點E與B、O兩點重合的情況），過點E作EF∥AB，交x軸于點F，將四邊形ABEF沿直線EF折疊后，與點A對應的點記作點C，與點B對應的點記作點D，得到四邊形CDEF，設點E的運動時間為t秒．

（1）畫出當t=2時，四邊形ABEF沿直線EF折疊后的四邊形CDEF（不寫畫法）
（2）在點E運動過程中，CD交x軸于點G，交y軸于點H，試探究t為何值時，△CGF的面積為；
（3）設四邊形CDEF落在第一象限內的圖形面積為S，求S關于t的函數解析式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1：

（2）

解：如圖2：

由折疊的性質，得∠C=∠A=∠COA=45°，AF=BE=CF=t，

S△CFG=CFFG=t2=，

解得t=，t=﹣（不符合題意，舍）；

（3）

解：

分兩種情況討論：

①當0＜t≤3時，如圖2：

四邊形DCEF落在第一象限內的圖形是△DFG，

∴S=t2，

∵S=t2，在t＞0時，S隨t增大而增大，

∴t=3時，S最大=；

②當3＜t＜6時，如圖2：

四邊形DCEF落在第一象限內的圖形是四邊形DHOF，

∴S四邊形CHOF=S△CGF﹣S△HGO，

∴S=t2﹣2（2t﹣6）2

=﹣t2+12t﹣18

=﹣（t﹣4）2+6，

∵a=﹣＜0，

∴S有最大值，

∴當t=4時，S最大=6，

綜上所述，當S=4時，S最大值為6．

【解析】（1）根據軸對稱的性質，可得CDEF與ABEF全等，根據全等，可得答案；
（2）根據軸對稱，可得△CGF，根據三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論：當0＜t≤3時，根據三角形的面積公式，可得答案；當3＜t＜6時，根據圖形割補法，可得答案．