Question

【題目】如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的矩形CEFD拼在一起，構成一個大的矩形ABEF，現將小矩形CEFD繞點C順時針旋轉，得到矩形CE′F′D′，旋轉角為α．

（1）當點D′恰好落在EF邊上時，求旋轉角α的值；
（2）如圖2，G為BC的中點，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；

（3）小矩形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉角α的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，

∴CD′=CD=2，

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，

∴∠CD′E=30°，

∵CD∥EF，

∴∠α=30°；

（2）

證明：∵G為BC中點，

∴CG=1，

∴CG=CE，

∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，

∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，

在△GCD′和△E′CD中

，

∴△GCD′≌△E′CD（SAS），

∴GD′=E′D；

（3）

解：能．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴CB=CD，

∵CD′=CD′，

∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，

當∠BCD′=∠DCD′時，△CBD′≌△DCD′，

當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，則旋轉角α= =135°，

當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，∠BCD′=∠DCD′= ∠BCD=45°

則α=360°﹣ =315°，

即旋轉角a的值為135°或315°時，△BCD′與△DCD′全等．

【解析】（1）根據旋轉的性質得CD′=CD=2，即可判定∠CD′E=30°，然后根據平行線的性質即可得到∠α=30°；（2）由G為BC中點可得CG=CE，然后根據“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，則GD′=E′D；（3）根據正方形的性質得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當兩頂角相等時它們全等，當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，可計算出α=135°，當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，可計算得到α=315°．
【考點精析】本題主要考查了圖形的旋轉和旋轉的性質的相關知識點，需要掌握每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．