Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點F．
求證：BF=AC．

Answer 1

【答案】證明：∵CD⊥AB，

∴∠BDC=∠CDA=90°；

∵∠ABC=45°，

∴∠DCB=∠ABC=45°（三角形的內角和定理），

∴DB=DC（等角對等邊）；

∵BE⊥AC，

∴∠AEB=90°，

∴∠A+∠ABE=90°（直角三角形的兩個銳角互為余角）；

∵∠CDA=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠ABE=∠ACD（同角的余角相等）；

在△BDF和△CDA中，

，

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF=AC（全等三角形的對應邊相等）．

【解析】要證BF=AC，就需要證明△BDF和△CDA全等，由已知條件可知它們是直角三角形。抓住題中關鍵的已知條件∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可得到△BDC是等腰直角三角形，得出DB=DC。再根據同角的余角相等或等角的余角相等，可得到兩三角形的另一組對應角相等，即可證得結論。
【考點精析】認真審題，首先需要了解余角和補角的特征(互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關)．