Question

【題目】如圖，在矩形中，點是的中點，于點.

（1）若，求的長；

（2）在（1）的條件下，連接，求的長.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根據余角的性質得到∠BAE=∠ADB，根據相似三角形的性質得到BE=1，求得BC=2，

（2）根據勾股定理得到AE=＝，BD=，根據三角形的面積公式得到BF=，過F作FG⊥BC于G，根據相似三角形的性質得到CG=，根據勾股定理即可得到結論.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABE=∠BAD=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAE+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠BAE=∠ADB，

∴△ABE∽△DAB，

∴，

∵E是BC的中點，

∴AD=2BE，

∴2BE2=AB2=2，

∴BE=1，

∴BC=2.

（2）∵BC=2，點是的中點，

∴AE=＝，BD=，

∴由面積相等法可得BF=，

過F作FG⊥BC于G，如圖，

∴FG∥CD，

∴△BFG∽△BDC，

∴，

∴FG=，BG=，

∴CG=，

∴CF=．